Математика и здравый смысл.

[ir_rena]

Решаем с моими студентами задачку —  доказываем, что число выборок n элементов из  2n равно сумме по k от нуля до n чила выборок к элементов из n в квадрате.

Ну, начертили квадрат, разделили каждую его сторону на n равных частей и разлиновали квадрат на клеточки. В нижний левый угол посадили робота и раздешили ему сделать ровно 2n шагов, каждый раз либо в ближайший правый узел разлиновки, либо в ближайший верхний. Из всех получившихся путей выделили те, что идут из нижнего левого угла в верхний правый. Доказали, что число таких путей равно числу способов выбрать элементов n из  2n. Затем провели диагональ из верхнего левого угла в нижний правый и увидели, что каждый такой путь её пересекает. Разбили все пути на пучки, в зависимости от точки пересечения диагонали и посчитали количество путей в каждом пучке. Сложили, получили требуемое равенство. Все довольны.

— Но ведь это не доказательство! — неожиданно возмущается самый активный студент, — Нужно же было доказать, а мы же ничего не доказали!

Объяснила, что в математике доказательства это не только и даже не столько формулы и вычисления, сколько логические рассуждения и выводы. По глазам увидела, что не поверил. Ну а чему удивляться, если даже один из министров образования уверен, что математика  в настоящее время себя изжила — ведь для вычислений теперь есть компьютеры! "Надо, — думаю, — будет узнать из какого такого подготовительного класса этот студент к нам пришёл, чтобы туда ненароком свою дочь не отдать".

За обедом рассказываю этот случай  коллеге-французу.

— А что, — отвечает коллега, — ведь  действительно  это не доказательство, надо же было  строить биекцию.

— Хм, — говорю, —  у тебя n+1 ящиков с яблоками и ты посчитал яблоки в каждом. Будешь строить биекцию, чтобы общее количество яблок определить? Это же просто вопрос здравого смысла!

— Математика, — отмахивается коллега от моей подколки, — это отнюдь не здравый смысл.

Дальше я спорить уже не стала, сбежала сославшись на начало занятий через минуту. Дальше спорить  не позволил мне мой здравый смысл. Вспомнился по этому поводу анекдот, который злые французские языки приписывают Арнольду : Если французского математка спросить сколько будет трижды два, он ответит: "Столько же сколько и дважды три, ведь операция умножения коммутативна!"

Comments

[sezif.livejournal.com]

селЯва)

это как в праве "есть буква закона а есть дух)

кстати тут утром не спалось, так часов в 6 утра стал мучительно думать на каком основании аксиома является таковой)

[ir-rena.livejournal.com]

Философский вопрос :)

[gonchar.livejournal.com]

То ли у Арнольда, то ли у кого-то ещё (не помню, но, если надо, найду) про французских студентов-математиков написано вообще чёрт-те что.
Основная суть сводится к тому, что они вызубривают предмет, вообще его не понимая. Поэтому могут знать сложные вещи, не зная элементарных. Пример - Ваша история и шутка (?) про 3х2.

Не знаю, насколько (по глубине и по охвату) правда - честно говоря, всегда было интересно.

Но! Если это так, ОЧЕНЬ не советую в родном заведении на эту тему дискутировать - дискуссия может закончиться "оргвыводами". :)

[ir-rena.livejournal.com]

У французских математиков конечно же гораздо более формальное мышление. Когда то меня это бесило, что всё у них в топологических пространствах, да с фильтрами. А потом поняла, что моя способность, привитая мне в нашей русской математической школе, откидывать в задачах всякую мишуру, оставляя главные принципиальные трудности, и есть моё перед французами преимущество. Я им просто пользуюсь. Ну на войне как на войне :) Конкуренцию ведь никто не отменял. И все эти недостатки сильно сглаживаюся довольно таки большой свободой. Здесь, даже если я разругаюсь вдрызг с начальником (который кстати переизбирается коллективом раз в 4 года), мне абсолютно ничего не грозит.


А Арнольд оказался во Франции когда ему уже было за 50, если я не ошибаюсь. В этом возрасте человек теряет гибкость и очень плохо приспосабливается к другому порядку вещей. В чём-то он конечно прав и я сама с подобными вещами частенько сталкиваюсь. Но у каждого, как известно, свои недостатки. Мне втречались и очень талантливые студенты. У Арнольда, когда он это писал, был, как мне кажется, второй этап становления иммигранта http://ir-rena.livejournal.com/9577.html

:)

[nickola-sun.livejournal.com]

Я думаю, что равенсто доказывается методом математической индукции. Если строго! А здравый смысл в математике ненадежный помощник :) К примеру, сумма ряда 1/n бесконечна, а 1 делить на n в квадрате сходится к конктреному числу. Хотя, с точки зрения "здравого" смысла особой разницы нет :)

[ir-rena.livejournal.com]

Ну имелся в виду ведь не обычный здравый смысл в бытовом его понимании, а здравый смысл как минимум на уровне студентов 3-го курса, которые мат индукцию ещё 4 года назад изучали в школе, а потом и в университете или в подготовительных классах. То есть здравый смысл в данном случае это просто набор опыта и навыков у данных людей на данном этапе. Тем более, согласитесь, индукция здесь всё же тривиальная :)

Ну и по поводу рядов не соглашусь. При желании, разницу между рядом 1/n и рядом 1/n^2 вполне можно объяснить при помощи здраводо смысла и даже интуиции, причём вполне строго. Правда, сначала нужно объяснить понятие предела последовательности чисел.

[nickola-sun.livejournal.com]

Я, о другом, математика - точная наука, тут "здравый смысл" совершенно ни к чему. Либо доказано, либо нет!

[ir-rena.livejournal.com]

Ну это вы о здравом смысле, который интуицией называется, говорите. Тут я согласна.

А я имела ввиду здравый смысл, согласно которому во взрослом возрасте мы не доказываем из раза в раз равенство 2 + 3 = 5 на пальцах (что собственно и есть построение биекция из множества пальцев в множество чисел) :)